Du solltest schnellstmöglich Einspruch einlegen (und natürlich die Belege nachreichen) oder vielleicht noch besser mit Zeugen hingehen.
Erfahrungsgemäß sitzen die Leute vom Amt am längeren Hebel (und zahlen ungern) und die sagen sich halt, selber schuld, wenn man vorschnell die Wohnung kündigt oder es ist halt Schuld des Arbeitgebers oder so üblich usw.
Umziehen kann man jederzeit, nur halt auf seine Kosten. Oder die vermuten andere Gründe dahinter.
Wenn es nur an fehlenden Belegen gelegen hätte, hätte man die vermutlich nachgefordert.
Es gibt sicher viele Fälle, wo Leute umziehen und Maklergebührer, oder Schadensersatz oder höhere Mietkosten, Fahrtkosten usw versuchen geltend zu machen.
Ich persönlich würde mir keine große Hoffnungen machen. Wenn ihr alles erklärt habt, wie es war, dann ist es unwahrscheinlich, dass die ihre Entscheidung ändern. Trotzdem natürlich Einspruch und Rechtsberatung.